מאת: עמי מעוז
מתבסס על ד"ר אלרן בתוכנית "שלושה שיודעים" (מנחה: דודו ארז) ועל פרופ' לויט, חתן פרס נובל לכימיה.
אני יושב בבית וחושב. משהו כאן לא ממש מובן. יש מגפה, יש עלייה במספר הנדבקים אבל הם מונים עשרות ומאות אחדות. ומתים אין כאן בכלל (יש שיאמרו: תודה לאל). אז אולי קיים מידע "אלטרנטיבי"? אכן, קיים כזה מידע שרק באמצעי תקשורת משניים, אם בכלל, ניתן לאתר אותו. זהו מידע מדעי שאינו מבוסס על שמועות וטוב שכך. אנסה לשתף אתכם ואתכן במידע כזה שנפל בחלקי אתמול והיום (רביעי). מי שחושב ש"מתמטיקה היא לא בשבילו", שיקרא לאט יותר. כולם יבינו את ההסבר שהבאתי.
בהסתמך על הידע שנצבר ועל שיטות מתמטיות ידועות, ניתן לבצע הערכה של התפתחות התחלואה במקרה של מגיפות. כדאי להפעיל שיטות אלו גם במקרה הקורונה והתפתחותה בישראל.
בין המושגים הרבים המשמשים במתמטיקה, קיים מושג ה"סדרות" (שלעיתים מכונה גם "טורים"). כולנו מכירים את סדרת המספרים: 1, 2, 3, 4, וכן הלאה. זוהי סדרה פשוטה הקרויה סדרה או טור חשבוני. בין כל שני מספרים ישנו מרווח קבוע, לדוגמה – 1. לכן הסדרה תיראה כך: 1+1=2, 1+2=3, 1+3=4 וכן הלאה עד כמה שתרצו. סדרה דומה שבה ההפרש הוא 2, תהיה: 0, 2, 4, 6, תמיד נוסף המספר 2 למספר הקודם (אגב, כל מספר בטור נקרא גם איבר), וכך מתקדם לו הטור.
סדרה מסוג אחר היא סדרה או טור הנדסי (ולא חשבוני). כאן בסדרת המספרים תהייה מכפלה בין כל שני איברים. למשל, נקבע מכפלה של 2, ואז (קראו משמאל לימין): 1X2=2, 2X2=4, 4X2=8, 8X2=16, וכן הלאה. תמיד המספר שקיבלנו מהמכפלה הקודמת מוכפל באותו מספר שבחרנו (2, בדוגמה הקודמת). אם נבחר מספר אחר להכפלה, נקבל טור אחר. לדוגמה, אם נבחר להעלות במכפלות של 3, הטור יהיה: 3, 9, 27, 81 וכן הלאה. ניתן מיד לראות שהמספרים בטור הנדסי גדלים בקפיצות גדולות יותר מאשר בטור חשבוני. או במילים אחרות, סדרה הנדסית מגיעה למספרים גדולים בקצב מהיר בהרבה מאשר סדרה חשבונית.
מה קורה במגפות? אם היו בני אדם נפגשים רק בטור אחד ארוך, למשל כמו מי שעומדים בתור לכרטיסי הופעות בחו"ל (סתם דוגמה), הטור היה אמנם מאוד ארוך, אבל היה ניתן לספור את האנשים כטור חשבוני. אבל מאחר שבדרך כלל אנחנו נפגשים עם אנשים אחדים, הרי הטור הוא הנדסי. ואנחנו רואים מיד את ההתבטאות לכך במספר הנדבקים בישראל שעל פי ימים היה בערך כך: 1, 1, 2, 2, 2, 3, 7, 7, 10, 12, וכן הלאה, עד שהגיע בימים האחרונים ל 257, 293 וביום שלישי בבוקר עמד על 304.
ובכן, נתוני ההדבקה בקורונה מתנהגים כסדרה הנדסית, לא לגמרי במדויק אבל בקירוב סביר. בינתיים נראה שאם נכפיל את מספר החולים הידוע כל יום ב-1.25, נקבל מספר קרוב למספר החולים המאובחנים. כדאי להתייחס כאן למילה "זינוק". כפי שראינו, הסדרה מנבאת את העלייה במספרים. לכן המושג זינוק, המפחיד למדי, משמעו עלייה (יומית) במספר החולים. חשוב לומר כבר כאן, העלייה בסדרה הזו מבטיחה גם עצירה בשלב מסוים, מי שנדבק כבר פעם אחת, לא נדבק יותר והוא יוצא מהסדרה. אוקיי. כיצד אם כך עוצרים את ההתנהגות המתמטית הזו?
הזהירות אינה רק של כל אחד ביחס לעצמו, אלא זהירות של כל אחד מפני ההעברה לאחרים! לכן, גם מי שאינם חוששים על עצמם ואינם נבהלים מהתחזיות הרעות, צריכים להיזהר בכדי לעצור את העלייה במספר החולים: כך נוכל לטפל בחולים טוב יותר, לא נמלא את בתי החולים, ואף נגיע לירידה הדרגתית, כפי שכבר קורה בסין ובקוריאה.
בחזרה למתמטיקה. אנחנו מכירים את הפעולה המתמטית שהיא העלאה בחזקה. חזקה היא מספר הפעמים שמכפילים מספר בעצמו. למשל: 2X2=4. כאן הכפלנו את המספר 2 שוב במספר 2, לכן זו היא העלאה של המספר 2 בחזקת שתיים. וכן הלאה: למשל 3X3X3, היא המספר 3 בחזקת שלוש והתוצאה היא 9. במקרה של הדבקת חולים, אם כל אדם מדביק 2 אנשים, אנחנו רואים שמעלים את המספר 2 בחזקה. אחד המדביק שניים. כל אחד מהם מדביק שניים נוספים, והנה 2 בחזקת 2. יש כבר 4 חולים. אם כל אחד מהארבעה מדביק 2, תהיה זו העלאה בחזקת 3. העלאת המספר 2 בחזקת 3 הם 8 חולים (2X2X2). אגב, במתמטיקה רושמים את הפעולה הזו כך: 22 המספר הקטן למעלה מסמן כמה פעמים נכפיל את המספר 2. כאמור, אם מעלים את המספר 2 בחזקות הסדרה תראה כך: 2, 4, 8, 16, 32 וכן הלאה, נסו בעצמכם.
על פי המידע המצוי כרגע, החזקה שמעלים בה את חולי הקורונה בישראל היא 1.25. כלומר כל אדם מדביק 1.25 אנשים בערך. כל עלייה במספר זה תגביר את קצב ההידבקות, וכל ירידה תקטין את הקצב הנוכחי. הקטנת קצב ההידבקות חשובה מאוד, שכן היא מאפשרת לצוותי הרפואה והטיפול להתגבר בנוחות רבה יותר על הצורך בטיפול בחולים המגיעים אליה. המקדם הזה – 1.25 –אינו כה ודאי מאחר שעדיין לא נבדקו כל ה"חשודים" כחולים, אבל קצב הבדיקות עולה. בכל מקרה סביר שגם שינוי במקדם הזה לא יהיה גדול יותר באופן קיצוני.
מהאמור כאן עולה שניתן לנבא את התנהגות המחלה באמצעות נוסחה כלשהי, שבצד אחד שלה ישנם המרכיבים שידועים לנו עד עכשיו ומצידה השני יתקבל מספר, שהוא הצפי של התקדמות המחלה באוכלוסייה. נוסחה זו קרויה בשם "משוואה לוגיסטית", משוואה שיכולה לקבוע כיצד הווירוס מתפשט בקרב הציבור.
אם כן, אם יודעים מהו קצב התפשטות המחלה, ניתן לנבא בקירוב טוב את מספר החולים הצפוי. אם למשל ביום מסוים היו 250 חולים, אזי צפוי שלמחרת יהיו 1.25X250, שזה 312 חולים. בתבהלה שמעוררים החדשות והפוליטיקאים מהלך זה ייקרא "זינוק", אבל זוהי עלייה צפויה וידועה מראש. אם מספר החולים הידועים היום הוא 250, ואנחנו רוצים לדעת כמה הם ימנו בעוד 10 ימים, נעשה הכפלה באמצעות חזקה: מכפילים את מספר החולים – 250 – במספר המציין את ההתקדמות או שיעור הגידול – 1.25 – ואותו מעלים בחזקה, לפי מספר הימים. מה יהיה אפוא בעוד 10 ימים? על פי כל אפליקציית חישוב בנייד שלנו 250 כפול 1.25 בחזקת 10 התוצאה היא 2328. זה מספר החולים הצפוי על פי נתונים אלו (שמובאים כאן כדוגמה בלבד, והם לא הנתונים הרשמיים במדויק) בעוד עשרה ימים. ברור שהורדת מספר המפגשים של חולים עם בריאים תוריד את ה"מקדם", הוא המספר 1.25 במקרה שלנו, ואז נראה התמתנות בקצב התקדמות הפצת הקורונה. חייבים לציין כאן שאם ישנם נתונים שעדיין אינם ידועים, ייתכן שהמקדם שונה. הוא יכול להיות יותר גדול, אבל לא יהיה זה שינוי מאוד מאיים! בכל מקרה עדיף כמובן שנראה ירידה בגודלו.
עם זאת בכל מקרה צפויה התמתנות. ראשית, מי שכבר חלה לא יידבק שוב, ושנית, גוברים אמצעי הבידוד החברתי. אם כל חולה ידביק רק אדם אחד, תחול התיישרות בעלייה במספר החולים, ואם בממוצע כל חולה ידביק פחות מאדם אחד, נראה היפוך ותחילת ירידה. במתמטיקה נקראת נקודת השינוי הזה "נקודת פיתול". מה קובע את נקודת הפיתול הזו? ברור! ההתנהגות שלנו. ההבדל בין מקדם הדבקות של 1.25 למקדם של 1.1 הוא עצום. לכן אמצעי ניקיון מרסיסי רוק או הימנעות ממגע עם חולים (בפרט שעדיין אינם ידועים כחולים) וריחוק מהם (שנקבע כ-2 מטרים), יגרמו לירידה ברמת ההדבקות או במקדם ההדבקות. כדאי להזכיר עוד מרכיב שמעת לעת מדובר בו. האפשרות שהקורונה תדעך בקיץ (הישראלי). אכן קיימת אפשרות כזו, שלא נבדקה עדיין. מאחר שהנגיף עובר מאדם לאדם על גבי נתזי רוק, ששורדים כמה עשרות סנטימטרים עד שהם מתפוגגים, ההמתנה לקיץ ברורה. מאחר שבקיץ הלחות גבוהה יותר, לרסיסי הרוק קשה יותר "להתקדם באוויר" ויכולתם לפגוע באדם העומד ליד אדם נגוע, נמוכה יותר. לא ידוע לי על ניסוי שנעשה כבר, אבל זו השערה סבירה. עוד נראה, אם בכלל נגיע לקיץ הלח שלנו ביחד עם הקורונה.
אפשר להסיק מהדברים הללו מסקנות אחדות. ההתקדמות לעבר נסיגה בהדבקות תלויה בכמה גורמים. העיקריים שבהם הם היכולת שלנו להימנע מקרבה "מדבקת" בין חולים ידועים לבריאים, זה ברור. הגורם השני הסטטיסטי הוא שכל מי שהיה בסיכון והוא למעשה כבר חולה, יוצא מהמשוואה. אם נוריד את מקדם ההדבקה שהוא 1.25 (או מעט יותר) ל 1.1 והלאה, השיפור יהיה ניכר. הורדת המקדם תיעשה למשל באמצעות הפסקת מפגשים חברתיים. ועוד משהו: כשאתם עוטים מסכה על פניכם אתם למעשה מגינים על זולתכם טוב יותר, הנה דוגמה ממשית ל"ואהבת לרעך כמוך". אומרים שהנטייה של תושבי המזרח הרחוק, סינים ויפנים למשל, ללבוש מסכה על פניהם כנגד זיהומים שונים גם בימים "כתיקונם" סייעה למתן, לקראת חיסול המגיפה בארצותיהם. קצב הדבקות יורד יבשר התקדמות לעבר השתלטות על הקורונה.
התנהגות לא מבוהלת, אלא שכלתנית ומודעת מבטיחה לנו עתיד של רוב בריאות ונחת. לבריאות!
